笔者向大家介绍一个不可思议的函数,它叫魏尔斯特拉斯函数。

在数学分析发展的初期，由于研究函数的工具有限，人们一直认为：连续函数在其定义区间 中，除去“可数的不可导点”以外的点都是可导的．也就是说，连续函数的不可导点至多是有限的：

上面这个函数只有一个点b不可导

然而，对于神奇的魏尔斯特拉斯函数，它完全颠覆了世人的认知。

世界上有没有一条线永远不会弯曲？这个问题被许多数学家所重视。早期的许多数学家包括高斯，都曾认为连续函数不可导的部分是有限的。1872年，德国数学家魏尔斯特拉斯利用项级数构造出了处处连续却处处不可导的函数：

这个函数的表达式长这样子，同时它必须满足很多条件，否则函数就不长上面这样子了：

满足条件的ab可以任意取值

看见w（x）是这种累加形式的，大家莫慌，让我们展开来看看它的模样：

维尔斯特拉斯

从形状上看，维尔斯特拉斯函数是个连续的函数，图形好像长了刺，放大任何一部分都不会找到平滑的地方。同时，这个函数具有自相似性：就像曼德勃罗集那样“无限套娃”。

维尔斯特拉斯函数具有任何局部的放大都与整体相似的性质，这个性质在数学上称为分形。

维尔斯特拉斯函数的神奇之处在于其每一点的斜率都不存在，连续却处处不可导，它本来就没有“曲”的概念：

至此，魏尔斯特拉斯终止了数学家们想要证明连续性蕴含可微性的企图，也使得数学家们更加不敢依赖直观或者几何的思考了。